Olympiades Pan-Africaines

Premier Jour
(Durée 4h.30)

Exercice1
Résoudre l'équation Trigonométrique suivante:
Sin3 x ( 1 + Cotan x ) + Cos3 x ( 1 + Tan x ) = Cos 2x





Exercice 2

Soient P0, P1, P2, ...., les polynômes définis par:
P0 (x) = x3 + 213 x2 - 67 x - 2000

et pour tout n >=1,
Pn ( x ) = Pn-1 ( x - n )

Quel est le coefficient de x dans le polynôme P21 ( x )?





Exercice 3

Montrer que si

P/q = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + .........- 1/1334 + 1/1335
( où p et q sont des entiers naturels non nuls ) alors 2003 divise p.





Deuxième Jour
(Durée 4h.30)

Exercice1
Soitent a, b et c trois réels tels que a2 + b2 = c2
Résoudre le système suivant:

x2 + y2 = z2
( x + a )2 + ( y + b )2 = ( z + c )2





Exercice 2

Par un point P extérieur à un cercle on mène les tangents ( PA ) et ( PB ). Une droite passant par P coupe le cercle en Q et R. On trace la corde [ BS ] parallèle à ( QR ).
Montrer que la droite ( SA ) coupe [ QR ] en son milieu.




Exercice 3
Une compagnie possède 5 directeurs. Les règlements de la compagnie stipulent que toute majorité ( 3 ou plus ) des directeurs peut ouvrir le coffre-fort mais aucune minorité ( 2 directeurs ou moins ) ne peut le faire.
On se propose d'équiper le coffre-fort de 10 serrures de telle sorte qu'il ne peut être ouvert que si toutes les 10 clés sont disponibles. On donne à chaque directeur un jeu de n clés différentes.
Trouver toutes les valeurs de n de telle sorte que le coffre-fort puisse être ouvert suivant les règlements de la compagnie.

Deuxième Jour
(Durée 4h.30)

Exercice1
Soitent a, b et c trois réels tels que a2 + b2 = c2
Résoudre le système suivant:

x2 + y2 = z2
( x + a )2 + ( y + b )2 = ( z + c )2





Exercice 2

Par un point P extérieur à un cercle on mène les tangents ( PA ) et ( PB ). Une droite passant par P coupe le cercle en Q et R. On trace la corde [ BS ] parallèle à ( QR ).
Montrer que la droite ( SA ) coupe [ QR ] en son milieu.




Exercice 3
Une compagnie possède 5 directeurs. Les règlements de la compagnie stipulent que toute majorité ( 3 ou plus ) des directeurs peut ouvrir le coffre-fort mais aucune minorité ( 2 directeurs ou moins ) ne peut le faire.
On se propose d'équiper le coffre-fort de 10 serrures de telle sorte qu'il ne peut être ouvert que si toutes les 10 clés sont disponibles. On donne à chaque directeur un jeu de n clés différentes.
Trouver toutes les valeurs de n de telle sorte que le coffre-fort puisse être ouvert suivant les règlements de la compagnie.